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ささちゃより:

2010=a*b*c*d+e+fを満たす20以下の相異なる素数abcdefの組を求めよ
なお、a<b<c<d、e<fとする。

以下、チームささかふぇの解答です。

2010=a*b*c*d+e+f
2010-e-f=a*b*c*d

20以下の素数は2,3,5,7,11,13,17,19である

ここで、e+fの組み合わせを調べてみる。
すると、e+fは、
5,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,20,21,22,24,26,28,30,32,36 の21通り
よって、それぞれに対応対応するa*b*c*dを求めてみると、
1974,1978,1980,1982,1984,1986,1988,1989,1990,1991,1992,1994,1995,1996,1997,1998,2000,2001,2002,2003,2005
となる(順番は対応していない)

a,b,c,dは相異なる素数なので、a*b*c*dは4の倍数、9の倍数にはならない。

a,b,c,dに少なくとも2か3が含まれていないと、5*7*11*13=5005>2010となるので、
a,b,c,dの中に少なくとも2か3が(あるいは両方とも)含まれている。

しかし、a,b,c,dの中に2,3の双方が含まれているとすると、a*b*c*dは最大でも2*3*17*19=1938
となり、e+fの最大である36を足しても2010には届かない
よって、a*b*c*dは6の倍数ではない


残り:
1978,1982,1990,1994,1995,2001,2002


4の倍数,6の倍数参考資料:
2000=4*500
2004=6*334

現時点でa*b*c*d≦2002である。
a,b,c,dの中に2,3,5,7がいくつ含まれるかを中心に考える。
前述のことより、2と3は同時に含まれない かつ どちらかが含まれなければいけない。

2002=11*13*14=11*13*2*7

①2,3,5,7のうち3つが含まれている場合
2,5,7 3,5,7の2つの可能性がある
2,3,5,7の次の素数:11を使って考えると、
2002/11=13*2*7=187
つまり、含まれる3数の積は187以下でなければならない
2*5*7=70 3*5*7=105 よって可能性有

②2,3,5,7のうち2つが含まれる場合
2,3,5,7の次の二つの素数を考えると、
2002/(11*13)=2*7=14
よって含まれる2数の積は14以下でなければならない
これを満たすのは、2*5,2*7のみ。(2*3は6の倍数になってしまう)

①②より、a*b*c*dは10の倍数 or 14の倍数 or 15の倍数(+7で割り切れる)でなければならない。

(3で割れるなら5で割れないとだめ。)
(2で割れるなら5or7で割れないと駄目)

残り:
1990,1995,2002

参考:
2002=11*13*2*7
2002-14=1988
1988-14=1974

1990=2*5*199(199が3,7,11,13,17の倍数でないため不可)
1995=3*5*7*19
2002=2*7*11*13

後は1995と2002に合うe+fを作るだけである。

1995+15=1995+2+13=3*5*7*19+2+13
2002+8=2002+3+5=2*7*11*13+3+5
この2つの解は問題分の条件を満たす。

答:
(a,b,c,d,e,f)=(3,5,7,19,2,13),(2,7,11,13,3,5)


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